U piloté par les données FDM

Jul 08, 2023

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 9116 (2023) Citer cet article

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La résolution efficace d'équations aux dérivées partielles (EDP) de lois physiques présente un intérêt pour de nombreuses applications en informatique et en analyse d'images. Cependant, les techniques conventionnelles de discrétisation de domaine pour la résolution numérique des EDP telles que les méthodes des différences finies (FDM) et des éléments finis (FEM) ne conviennent pas aux applications en temps réel et sont également assez laborieuses pour s'adapter aux nouvelles applications, en particulier pour les non-experts en mathématiques numériques et en modélisation informatique. Plus récemment, des approches alternatives pour résoudre les EDP utilisant les soi-disant réseaux de neurones physiquement informés (PINN) ont reçu une attention croissante en raison de leur application simple à de nouvelles données et de leurs performances potentiellement plus efficaces. Dans ce travail, nous présentons une nouvelle approche basée sur les données pour résoudre l'EDP de Laplace 2D avec des conditions aux limites arbitraires à l'aide de modèles d'apprentissage en profondeur entraînés sur un large ensemble de solutions FDM de référence. Nos résultats expérimentaux montrent que les problèmes de Laplace 2D directs et inverses peuvent être résolus efficacement en utilisant l'approche PINN proposée avec des performances presque en temps réel et une précision moyenne de 94 % pour différents types de problèmes de valeurs limites par rapport à FDM. En résumé, notre solveur PINN PDE basé sur l'apprentissage en profondeur fournit un outil efficace avec diverses applications dans l'analyse d'images et la simulation informatique de problèmes de valeurs aux limites physiques basés sur des images.

Les progrès rapides de l'imagerie biomédicale conduisent à la génération de quantités toujours croissantes de données d'image. Dans de nombreuses applications, l'analyse d'images se limite principalement à la dérivation de descripteurs quantitatifs relativement simples de structures ciblées telles que la couleur, le volume, la surface et la forme. Cependant, les séries d'images peuvent également fournir des informations plus approfondies sur les propriétés physiques sous-jacentes et le comportement qui se cachent derrière les changements dynamiques des structures biologiques surveillées optiquement1,2,3.

En général, une modélisation cohérente basée sur la physique nécessite une solution numérique d'un problème de valeur aux limites (BVP) qui est donnée par l'équation aux dérivées partielles (PDE) ou la loi de comportement (par exemple, les équations de la mécanique du continuum, la dynamique des fluides, la diffusion) et les conditions aux limites prescrites. Pour cette tâche, les techniques conventionnelles de discrétisation de domaine telles que la différence finie (FDM)4, les éléments finis (FEM)5, les éléments de frontière (BEM)6 et les méthodes sans maillage7 ont été fréquemment utilisées dans le contexte d'applications biomédicales8,9. Les techniques numériques conventionnelles ne sont cependant pas adaptées aux applications en temps réel et nécessitent également des compétences avancées pour s'adapter aux nouvelles données et aux nouveaux objectifs de recherche. Pour réduire la demande de calcul sur les solveurs numériques conventionnels, plusieurs approches ont été étudiées, y compris les substituts10,11, la réduction de l'ordre du modèle12,13,14,15,16,17 ou les techniques multigrilles18,19,20. Bien que ces méthodes avancées soient capables de réduire les coûts de calcul, elles ne couvrent pas l'ensemble du spectre des tâches de calcul, y compris les problèmes en temps réel, inverses et/ou non linéaires qui ne sont pas encore traités de manière satisfaisante dans de nombreuses applications interdisciplinaires et, en particulier, biomédicales. Ces dernières années, les approches alternatives pour résoudre les BVP basés sur la physique et l'image à l'aide de modèles de réseaux neuronaux basés sur les données ont connu une popularité croissante. Les soi-disant réseaux de neurones physiquement informés (RPIN)21 formés sur une grande quantité de données représentatives apprennent à déduire des relations physiques complexes directement à partir des données. Avec une quantité suffisante de données disponibles, les PINN peuvent établir un mappage entre les données d'entrée et de sortie (par exemple, les images source et cible) sans intégrer les lois physiques directement dans les réseaux de neurones. Capables de surmonter l'un des principaux fardeaux techniques de la modélisation numérique, une discrétisation laborieuse et sujette aux erreurs de domaines spatio-temporels complexes, les PINN promettent de combler le fossé entre les données volumineuses et la modélisation sophistiquée basée sur des mécanismes avec des performances presque en temps réel. De plus, le spectre d'applicabilité des PINN couvre non seulement les problèmes inverses, mais également les problèmes inverses les plus difficiles en termes de calcul21,22,23,24,25,26. Ces dernières années, de nombreuses approches de l'approximation basée sur les données des mécanismes physiques utilisant des réseaux de neurones profonds ont été signalées18,19,27,28,29,30, et des travaux19,30 étudient le problème à l'aide de CNN. Les réseaux de neurones convolutifs (CNN)31 sont connus pour montrer des performances supérieures par rapport aux méthodes conventionnelles et aux techniques de réseaux de neurones clairsemés, en particulier par application aux problèmes de vision par ordinateur qui nécessitent des capacités cognitives d'ordre supérieur. Les plates-formes de codage Deep Learning telles que Tensorflow, PyTorch et Keras sont entre-temps largement utilisées par la communauté de l'IA.

Cependant, la plupart des frameworks PINN connus sont principalement disponibles avec des plates-formes logicielles spéciales DeepXDE32, Nvidia SimNet33, NeuroDiffEq34, qui manquent de définition flexible et de solution de BVP physiques sur des domaines d'image arbitraires. Les plates-formes de simulation numérique basées sur GPU basées sur des approches conventionnelles telles que NiftySim35 et SoFa36 sont des applications spécifiques qui nécessitent différentes implémentations pour différents problèmes.

Dans ce travail, nous visons à étudier la capacité des méthodes d'apprentissage en profondeur à résoudre efficacement un BVP basé sur l'image et la physique avec des conditions aux limites arbitraires. En particulier, nous nous appuyons ici sur l'architecture réseau de base de U-Net, qui a été développée à l'origine pour un large éventail de problèmes de segmentation d'images37. Contrairement aux problèmes de segmentation d'image, la résolution de BVP physiques implique des problèmes multi-classes ou, plus généralement, d'optimisation. Par conséquent, deux modifications de l'U-Net avec des fonctions de perte multi-classes et personnalisées ont été introduites et entraînées sur un large ensemble de solutions FDM de référence de l'EDP 2D de Laplace.

Notre manuscrit présente un cadre théorique et expérimental de ceci est structuré comme suit. Tout d'abord, nous décrivons le schéma numérique FDM qui a été utilisé pour résoudre les problèmes de Laplace 2D et générer un grand nombre d'images de référence pour la formation ultérieure de modèles d'apprentissage en profondeur. Ensuite, les résultats des performances du modèle PINN par application aux problèmes de Laplace 2D direct et inverse sont présentés et comparés aux solutions FDM de référence. Nos résultats expérimentaux montrent que nos modèles PINN sont capables de ressembler à des solutions numériques conventionnelles pour de nouvelles données inédites avec une précision remarquable. Enfin, les limites actuelles et les améliorations futures de nos approches PINN sont discutées.

Dans ce travail, nous nous concentrons sur la solution de l'équation aux dérivées partielles (EDP) de Laplace 2D, qui se pose en physique mathématique à travers la description des problèmes de propagation et de diffusion de la chaleur. L'EDP de Laplace 2D appartient à la catégorie des EDP elliptiques du second ordre :

où \(u=u(x,y)\) est une variable scalaire définie sur un domaine spatial 2D, et donc, en général, une fonction de coordonnée. Les solutions non triviales de l'Eq. (1) à droites nulles n'existent que si des valeurs non nulles de \(u = u_{D} \ne 0\) sont définies sur certaines parties du domaine spatial \(\Omega _D \in \Omega\). Souvent, les valeurs prescrites de u sont définies sur certaines frontières externes ou internes \(\Gamma \subset \Omega\). De telles conditions aux limites sont appelées conditions aux limites de Dirichlet. Le problème de trouver une solution à la PDE pour les conditions aux limites données est appelé le problème de la valeur aux limites (BVP).

Les solutions analytiques de l'Eq. (1) ne sont connues que pour certains cas spatiaux de conditions aux limites (symétriques) particulièrement simples. Un tel cas particulier est une solution de l'EDP de Laplace inhomogène avec le côté droit sous la forme de la fonction de point de Dirac :

où \(r(x,y)-r'(x',y')\) est un vecteur pointant de la coordonnée \((x',y')\), où l'impulsion de Dirac a été appliquée, vers une autre coordonnée (x, y) du domaine 2D infini \(\Omega\). La solution de l'éq. (2) également connue sous le nom de solution fondamentale de l'EDP de Laplace 2D est donnée par38

Le BVP défini par l'Eq. (1) avec des conditions aux limites arbitraires ne peut, en général, être résolu que numériquement.

Dans ce travail, la méthode des différences finies sur la grille d'image 2D régulière est appliquée à cette fin. En particulier, FDM approxime les dérivées par les différences entre les valeurs variables entre les nœuds de grille voisins, c'est-à-dire

En conséquence, l'équation FDM de la PDE de Laplace 2D du second ordre sur la grille régulière des nœuds de l'image (c'est-à-dire des pixels) prend la forme :

où (i, j) sont des indices de pixels d'image dans la coordonnée euclidienne du système (XY). Considération de l'éq. (5) pour tous les pixels de l'image conduit à un système linéaire d'équations pour les valeurs nodales inconnues \(u_{ij}\), qui après implémentation des valeurs nodales connues (c'est-à-dire les conditions aux limites prescrites de Dirichlet) peuvent être écrites de manière compacte sous une forme matricielle comme suit :

où A est une matrice définie symétrique et positive et b est le vecteur de droite résultant de l'implémentation de valeurs connues de u.

Dans ce travail, la discrétisation FDM de l'Eq. (5), son assemblage en Eq. (6) suivi d'une solution numérique ultérieure utilisant la méthode du gradient conjugué préconditionné (PCG) a été mis en œuvre sous MATLAB 2021a. Le solveur FDM implémenté comme décrit ci-dessus a d'abord été évalué par une comparaison directe avec la solution analytique exacte de l'EDP de Laplace 2D [c'est-à-dire la solution fondamentale dans l'Eq. (3)] ​​puis appliqué pour la résolution de conditions aux limites arbitraires de BVPs.

Pour former de manière appropriée le modèle PINN afin d'émuler avec précision les solutions de la PDE de Laplace 2D pour des conditions aux limites arbitraires, un grand nombre d'images BVP de référence par paires et leurs solutions FDM doivent être générées. À cette fin, un ensemble d'images BVP avec différents motifs géométriques de domaines de Dirichlet et des distributions de valeurs prescrites sur ces sous-domaines a été généré. Pour la définition de différents motifs géométriques, différentes formes primitives telles que des gouttes, des points, des lignes, des triangles, des rectangles, des cercles, etc., ainsi que leurs variations aléatoires et leurs perturbations d'échelle et de localisation ont été utilisées. Dans l'étape suivante, des valeurs prescrites de \(u\in [25 255]\) ont été attribuées aux pixels de chaque motif géométrique. En construisant la distribution des valeurs prescrites, plusieurs stratégies de perturbation ont été utilisées. Premièrement, la stratégie est basée sur la génération de valeurs constantes, de gradient ou aléatoires. Le facteur suivant influençant la distribution était la randomisation des paramètres de ces distributions. Par exemple, dans le cas des modèles de gradient, la direction et l'amplitude du gradient ont été randomisées dans une plage de certaines limites admissibles.

Notre approche d'émulation d'EDP de Laplace 2D à l'aide d'un modèle PINN est basée sur l'adaptation du cadre de segmentation d'images U-Net. Cependant, contrairement aux tâches de segmentation d'image typiques, la résolution de BVP physiques continus nécessite l'introduction de fonctions de perte appropriées. Ici, nous utilisons et étudions les performances de U-Net avec deux fonctions de perte alternatives, y compris (i) l'entropie catégorielle creuse (SCE) multi-classes (Eq. 7) et (ii) l'erreur quadratique moyenne (MSE) (Eq. 8):

où \(z_{i,j}\) indique si le i-ième pixel est classé correctement pour l'étiquette de classe donnée j, \(p_{i,j}\) est le score de confiance de la classification, N est le nombre de pixels et M est le nombre de classes, et

où \(q_i^*\) est la valeur de vérité terrain sur le ième pixel d'image, \(q_i\) est la valeur prédite pour le paramètre de réseau donné \(\theta\) et N est le nombre de pixels d'image. En conséquence, ces deux modifications U-Net sont appelées MC U-Net et MSE U-Net.

De plus, toute l'architecture U-Net doit être modifiée pour obtenir de bonnes performances en résolvant les BVP physiques. Les modifications du U-Net d'origine sont les suivantes. Les couches de suppression ont été remplacées par des couches de normalisation par lots dans notre étude. La normalisation par lots normalise l'entrée pour chaque mini-lot, ce qui augmente la stabilité et la vitesse d'apprentissage des modèles. Sans normalisation par lots, lorsqu'il y a un changement dans la distribution d'entrée du modèle, les couches cachées tentent de s'adapter à la nouvelle distribution, provoquant ainsi un décalage de covariable interne39. Les modifications de l'architecture U-Net introduites dans ce travail sont résumées dans le tableau 1.

Les modèles directs sont entraînés pour prédire les solutions FDM des BVP données par l'EDP de Laplace 2D avec des conditions aux limites prescrites. Pour la formation des modèles avancés, les données d'entrée ont été définies par des images BVP synthétiques générées comme décrit ci-dessus, tandis que les données de sortie sont données par la solution FDM d'images BVP. Par conséquent, les modèles directs ont été formés pour attribuer correctement les valeurs d'intensité des pixels d'image à l'une des 256 classes possibles (c'est-à-dire les valeurs d'intensité) d'images 8 bits. Un tel modèle est purement basé sur les données et n'inclut pas explicitement les équations physiques dans le cadre des fonctions de coût.

Les modèles inverses sont entraînés en inversant les ensembles de données d'entrée et de sortie qui ont été utilisés pour l'entraînement du modèle vers l'avant. Par conséquent, les modèles inverses visaient à apprendre à reconstruire l'image BVP originale à partir de sa solution (FDM).

Les modèles PINN direct et inverse ont été développés sous Python 3.8 à l'aide de TensorFlow40 avec l'API Keras. De plus, certaines opérations de traitement d'image telles que la lecture et la préparation des données de formation ont été effectuées à l'aide de PIL, NumPy41 et Scikit-image42. Ensuite, les modèles PINN ont été formés sur une machine GPU avec un système d'exploitation Linux (processeur Intel(R) Core(TM) i7-10700K à 3,80 GHz) et une carte graphique NVIDIA RTX 3090-24 Go. En ce qui concerne la configuration de la formation du modèle, les ensembles de données préparés ont été divisés en formation et validation dans un rapport de 85:15 respectivement sur la base de nos expériences et des études précédentes43,44. Les poids initiaux du modèle PINN ont été définis aléatoirement avec une moyenne nulle et un écart type de 0,05, comme proposé par45. Ici, Adam optimiser46 est utilisé pour optimiser le modèle et améliorer les performances sur les ensembles de données d'apprentissage. Ensuite, les modèles MC U-Net ont été formés pour 500 époques avec 24 caractéristiques de canal convolutif avec un taux d'apprentissage de 0,0001 et une taille de lot de 256 et les modèles MSE U-Net ont été formés pour 2000 époques avec 24 caractéristiques de canal convolutionnel avec un taux d'apprentissage de 0,0001 et une taille de lot de 128.

Les prédictions des modèles PINN direct et inverse (\(I_{\text {PINN}}\)) sont validées par comparaison directe avec des solutions FDM de référence (\(I_{\text {FDM}}\)). Pour tenir compte des différences admissibles dues à l'arrondissement des valeurs à virgule flottante aux intensités d'image à valeur entière, des différences allant jusqu'à une valeur d'intensité (c'est-à-dire des écarts de plus ou moins une classe de segmentation) ont été tolérées, c'est-à-dire

Les performances des modèles PINN par rapport aux solutions FDM ont été évaluées à l'aide de dérivées conventionnelles de la matrice de confusion multi-classes, qui dans notre cas compte 256 classes (c'est-à-dire les valeurs d'intensité d'une image 8 bits). Les mêmes mesures ont été utilisées pour évaluer les modèles MSE U-Net car les résultats sont des images 8 bits et les valeurs de pixel arrondies à la valeur entière la plus proche. En particulier, la précision et le score F1 ont été évalués pour chaque image de test :

où Précision et Sensibilité sont

De plus, l'erreur absolue moyenne (MAE) et l'erreur quadratique moyenne (MSE) de tous les pixels de l'image ont été calculées :

où \(p_i^*\) est la valeur de vérité terrain sur le ième pixel d'image et \(p_i\) est la valeur de prédiction. Les valeurs aberrantes particulièrement importantes des prédictions PINN ont été localisées en seuillant la différence entre les solutions FDM et PINN :

L'ensemble de référence de solutions numériques de l'EDP de Laplace 2D a été généré à l'aide de la méthode des différences finies, comme décrit dans la section Méthodes. Pour valider la précision du solveur FDM, les solutions numériques ont été comparées à la solution fondamentale de l'EDP 2D de Laplace, voir Eq. (3). Dans ce but, des solutions analytiques et numériques ont été calculées pour un sous-domaine quadratique \(\Omega\) du milieu infini \(\Omega _{\text {inf}}\) qui n'inclut pas le point source (\(|r-r'|>0\,,\forall r(x,y) \in \Omega\)), où la solution fondamentale présente un comportement singulier (\(u(r=r') \rightarrow \infty\)), voir Fig. 1. La validation de la solution FDM par rapport à la solution fondamentale de l'EDP de Laplace 2D a été effectuée pour les points intérieurs du sous-domaine \(r(x,y)\in \Omega \backslash \Gamma\) uniquement. Les valeurs aux limites de la solution fondamentale \(u(r(x,y)),\,r(x,y)\in \Gamma\) que nous avons utilisées comme conditions aux limites prescrites pour le calcul ultérieur de la solution FDM à l'intérieur de \(r(x,y)\in \Omega \backslash \Gamma\). La base théorique de cette approche est donnée par le théorème intégral de Gauss, qui stipule que la solution à l'intérieur d'un domaine spatial fermé est définie de manière unique par ses valeurs limites.

La validation de la solution FDM par rapport à la solution analytique (fondamentale) de l'EDP de Laplace 2D u(r(x, y)) est effectuée pour le sous-domaine quadratique \(r(x,y)\in \Omega\) du milieu infini \(\Omega _{\text {inf}}\). Pour la validation, seuls les points internes (c'est-à-dire les pixels de l'image interne) \(r(x,y)\in \Omega \backslash \Gamma\) ont été pris en compte, tandis que les valeurs aux limites ont été fixées égales à la solution fondamentale \(u(r(x,y))=u_{\text {fs}},~r(x,y)\in \Gamma\) et utilisées comme conditions aux limites pour calculer la solution FDM sur les nœuds du domaine interne.

La figure 2 montre une comparaison de la solution analytique par rapport à la FDM calculée sur la grille d'images 128 \(\times\) 128 du sous-domaine \(\Omega\). Comme on peut le voir, la différence absolue entre les solutions fondamentales et FDM revient à \(1\text {e-}5\) atteignant le maximum au voisinage du point source singulier.

Comparaison de la solution fondamentale de l'EDP de Laplace 2D par rapport à une solution numérique calculée à l'aide du FDM pour un sous-domaine d'images de 128 \(\times\) 128. De gauche à droite : tracé de la solution fondamentale (FS) pour un sous-domaine 128 \(\times\) 128 échantillonné du milieu infini, tracé de la solution FDM calculée à partir des valeurs FS définies sur la frontière de l'image 128 \(\times\) 128, la différence entre les solutions fondamentales et FDM.

Pour étudier les effets de la discrétisation du domaine de l'image et la quantité de données d'apprentissage sur les résultats des performances du modèle PINN, neuf ensembles d'images BVP de référence et les solutions FDM correspondantes ont été générées. Ces neuf ensembles de données sont composés de 10, 40 et 70 000 images BVP (appelées ensembles de données 10 k, 40 k et 70 k) comprenant trois résolutions spatiales différentes (64 \(\times\) 64, 128 \(\times\) 128, 256 \(\times\) 256), voir le tableau 2. une grande variabilité des motifs géométriques et des conditions aux limites a été prise en compte par la génération de l'ensemble de référence d'images BVP. En conséquence, chaque ensemble d'images a été généré en combinant plusieurs stratégies pour la définition des motifs géométriques (par exemple, les points, les lignes, les contours et les formes solides) et la distribution spatiale des valeurs prescrites (c'est-à-dire les conditions aux limites), y compris les distributions constantes, à gradient et aléatoires. Dans la distribution de gradient, les valeurs des pixels sont attribuées par incréments de 25 à 255 dans différentes directions. Des exemples d'images BVP pour trois types différents de conditions aux limites (y compris des distributions constantes, à gradient et aléatoires) sont illustrés à la Fig. 3. En outre, différentes directions et amplitudes de gradients ont été mises en œuvre pour éviter les biais potentiels dans les données d'entraînement.

Exemple de génération d'images BVP. De gauche à droite : image binaire (c'est-à-dire motif géométrique) pour la définition des distributions de valeurs prescrites (Dirichlet), constantes, à gradient et aléatoires définies sur le même motif géométrique.

Les modèles PINN avant ont été formés pour émuler des solutions FDM de 2D Laplace PDE en utilisant neuf ensembles de données du tableau 2, comme décrit dans la section "Méthodes". Des exemples de prédictions du modèle PINN basées sur l'ensemble de données d'apprentissage 4 du tableau 2 comprenant trois types différents de BVP sont illustrés à la Fig. 4. Dans l'ensemble, les prédictions du modèle PINN présentent une grande similitude avec les solutions FDM couvrant tous les types d'images BVP. Cependant, une analyse détaillée montre des différences significatives dans les mesures de performance PINN entre les différents types de BVP. On peut voir, par exemple, que les performances du modèle sont nettement plus précises lorsqu'elles sont appliquées à des images BVP avec des conditions aux limites constantes et à gradient par rapport aux valeurs aux limites distribuées de manière aléatoire dans les deux méthodes, voir Fig. S1 supplémentaire. Dans le cas du modèle MC U-Net, des effets distinctifs des résolutions spatiales de l'image sur la formation du modèle ont été observés. En particulier, le modèle MC U-Net a présenté un surajustement précoce au cours des 50 premières époques uniquement lorsqu'il a été formé sur 256 \(\times\) 256 mais pas 64 \(\times\) 64 et 128 \(\times\) 128 images BVP. Cela peut être attribué au fait que les intervalles d'échantillonnage dans 256 \(\times\) 256 solutions FDM sont significativement plus petits par rapport à 128 \(\times\) 128 et 64 \(\times\) 64 solutions FDM, ce qui conduit ce modèle à capturer plus de caractéristiques en plus des caractéristiques saillantes. Pour résoudre ce problème, le maxpooling a été augmenté de 2 à 4 à la place, ce qui a aidé à atténuer le problème, voir Fig. S3 supplémentaire. Ainsi, les modèles basés sur MSE U-Net formés avec des ensembles de données de 10 000 surpassent le modèle MC U-Net formé avec des ensembles de données de 70 000, qui est le modèle MC U-Net le plus performant, voir Fig. S1 supplémentaire. Des mesures de performance supplémentaires pour les modèles MC U-Net peuvent être trouvées dans les matériaux supplémentaires Fig. S4–S6. Les mesures de performance des modèles prospectifs sont présentées dans le tableau 3.

Exemple de comparaison des solutions FDM par rapport aux prédictions du modèle MSE U-Net avancé formé sur 10k 128 \(\times\) 128 images de vérité terrain. De gauche à droite : (première colonne) images BVP originales, (deuxième colonne) solutions FDM de l'EDP 2D de Laplace calculées à partir d'images BVP, (troisième colonne) résultats des prédictions du modèle PINN direct calculées à partir d'images BVP (première colonne), (quatrième colonne) la différence absolue entre les images BVP FDM (deuxième colonne) et prédites par PINN (troisième colonne). De haut en bas : exemples de gradient contenant (en haut), des conditions aux limites constantes (au milieu) et distribuées de manière aléatoire (en bas). Le dégradé de couleur indique les valeurs d'intensité et leur différence comprise entre [0, 255].

Les modèles inverses visent à reconstruire le BVP initial (c'est-à-dire l'image creuse) à partir de la solution de la PDE de Laplace 2D (c'est-à-dire les images lissées). La résolution numérique de problèmes inverses à l'aide de méthodes conventionnelles est souvent une tâche non triviale. Dans le cadre de la résolution d'EDP basée sur PINN, cette tâche est traitée de manière triviale en inversant la direction de la formation du modèle des ensembles d'images cible vers source, c'est-à-dire en échangeant les données d'entrée et de sortie utilisées pour la formation des modèles avancés. Des exemples de performances du modèle inverse 128 \(\times\) 128 pour différents types de problèmes BVP sont illustrés à la Fig. 5.

Exemple de comparaison entre les images BVP originales et les prédictions du modèle MSE U-Net inverse formées sur 10k 128 \(\times\) 128 images de vérité terrain. De gauche à droite : (première colonne) images BVP originales, (deuxième colonne) solutions FDM de l'EDP 2D de Laplace calculées à partir d'images BVP, (troisième colonne) résultats des prédictions du modèle PINN inverse calculées à partir de solutions FDM (deuxième colonne), (quatre colonnes) la différence absolue entre les images BVP originales (première colonne) et inversement prédites par PINN (troisième colonne). De haut en bas : exemples de gradient contenant (en haut), des conditions aux limites constantes (au milieu) et distribuées de manière aléatoire (en bas). Le dégradé de couleur indique les valeurs d'intensité et leur différence comprise entre [0, 255].

Validation des prédictions PINN inverses vs FDM. De gauche à droite : (première colonne) image BVP originale, (deuxième colonne) solution FDM de la PDE de Laplace 2D pour la condition aux limites donnée par l'image BVP originale, (troisième colonne) reconstruction de l'image BVP originale à partir de la solution FDM en utilisant le modèle PINN inverse, (quatre colonnes) solution FDM de la PDE de Laplace 2D pour les conditions aux limites données par l'image BVP prédite inversement, (cinquième colonne) différence entre les solutions FDM (deuxième et quatre colonnes) calculées à partir de l'original et inversement images BVP prédites (première et troisième colonnes). De haut en bas : BVP aléatoire (en haut), plein (au milieu) contre cercle vide BVP (en bas) avec les mêmes valeurs limites. Malgré les différences entre les images BVP originales et inversement reconstruites, leurs solutions FDM ne présentent pas cette grande différence. À son tour, le modèle PINN inverse ne parvient pas à récupérer les valeurs correctes à l'intérieur du cercle vide en raison de l'ambiguïté de principe des solutions inverses d'images FDM par ailleurs égales. La carte des couleurs indique les valeurs d'intensité et leurs différences dans la plage [0, 255]. Les scores F1 entre les solutions FDM de BVP d'origine (deuxième colonne) et les solutions FDM de prédiction inverse (quatrième colonne) sont respectivement de 99 % (rangée du haut), 100 % (rangée du milieu) et 100 % (rangée du bas).

Une récupération exacte des conditions aux limites d'origine est cependant connue pour être associée au principe d'incomplétude, puisque différentes conditions aux limites peuvent parfois conduire à des solutions assez similaires. Avec les deux approches, les conditions aux limites inverses prédites sont clairsemées par rapport aux conditions aux limites d'origine et le calcul FDM pour les conditions aux limites peu prédites montre que les solutions FDM des conditions aux limites inversement prédites présentent une grande similitude avec les solutions FDM de vérité terrain qui prouve la déclaration, voir. Fig. 6. Comme on peut le voir dans le résumé des mesures de performance pour les modèles U-Net inverses dans le tableau 4, ils présentent une erreur MSE sensiblement plus grande que les modèles directs cf. Tableau 3. Il a été observé que les conditions aux limites prévues sont plus clairsemées dans les modèles MSE U-Net que dans les modèles MC U-Net. Par conséquent, les modèles MSE U-Net affichent des scores F1 inférieurs à ceux des modèles MC U-Net. Étant donné que les modèles MSE U-Net génèrent des prédictions inverses parcimonieuses, d'autres analyses ont été effectuées avec les modèles MC U-Net, voir S2. Des mesures de performances supplémentaires pour les modèles MC U-Net sont disponibles dans les Fig. S7 à S9 supplémentaires et le tableau supplémentaire S1.

Du point de vue du traitement d'image, le modèle de Laplace 2D inverse effectue effectivement une sorte de défloutage des images lissées. La figure 7 montre un exemple de reconstruction inverse de l'image originale à partir de sa version lissée gaussienne avec \(\sigma =8\) et un total de 12 itérations utilisant le modèle PINN inverse 128 \(\times\) 128 70k. Les différences marginales entre les images originales et inversement reconstruites sont dues aux différences entre les algorithmes de reconstruction PINN inverse (Laplacien 2D) et de lissage d'image (Gaussien 2D). Une autre cause de la divergence de la prédiction inverse de l'image BVP originale est due à l'ambiguïté de principe des solutions inverses, cf. Figure 6.

Exemple d'application du modèle inverse 128 \(\times\) 128 70k MC U-Net pour le débrouillage d'une image lissée gaussienne (\(\sigma =8\), 12 itérations). De gauche à droite : image d'origine, image lissée gaussienne, résultat du défloutage de l'image lissée gaussienne à l'aide du modèle PINN inverse. La carte des couleurs indique les différences entre les images originales et inversement reconstruites dans la plage entre [0, 255]. Le score F1 entre l'image d'origine et l'image reconstruite est de 67 %.

Analyse des performances de calcul des modèles PINN par rapport à FDM avec 500 images BVP sélectionnées au hasard parmi les 128 \(\times\) 128 ensembles de données de validation contenant des exemples de tous les BVP possibles. Le temps moyen pris par le solveur PINN est comparé à la solution FDM en fonction de la résolution de l'image ainsi que du nombre de nœuds avec une condition aux limites prescrite (c'est-à-dire des pixels de Dirichlet) car il détermine la rareté de la matrice de rigidité et sa solution numérique à l'aide de PCG. Un résumé des performances de calcul des modèles PINN pré-formés par rapport à FDM est présenté dans le tableau 5 et la figure 8. Comme on peut le voir, le calcul de solutions d'EDP de Laplace 2D à l'aide de modèles PINN est beaucoup plus efficace par rapport aux solutions itératives utilisant FDM. Même si l'on considère que le temps de calcul de FDM varie en fonction du nombre de pixels de Dirichlet pour une même taille d'image, cela n'a pas un effet important. Avec l'augmentation de la résolution d'image, les performances de calcul de FDM augmentent considérablement plus rapidement par rapport aux modèles PINN qui effectuent le calcul d'images jusqu'à 256 \(\times\) 256 taille en moins de 1 s.

Comparaison des performances de calcul PINN et FDM pour 256 \(\times\) 256 images. Gauche : temps écoulé des prédictions PINN (rouge) par rapport aux solutions FDM (bleu) en secondes pour 500 images BVP de test. À droite : temps écoulé entre les solutions PINN et FDM en fonction du nombre de pixels avec les valeurs prescrites (pixels Dirichlet). La dépendance du temps de calcul sur le nombre de pixels de Dirichlet a à voir avec des efforts supplémentaires pour la mise en œuvre des valeurs limites prescrites.

Notre solveur 2D Laplace PINN a été implémenté comme un outil de démonstration exécutable qui peut être exécuté sur les systèmes d'exploitation Windows et Linux à l'aide d'un simple appel de ligne de commande : model.exe . Il peut être téléchargé avec des exemples d'images sur https://ag-ba.ipk-gatersleben.de/Lap2Dpinn.html.

Dans cette étude, nous avons développé et étudié deux modèles PINN pour résoudre des problèmes de valeurs aux limites de Laplace 2D arbitraires définis sur des images 8 bits. Nos résultats expérimentaux ont montré que les modèles PINN entraînés sur un large ensemble de solutions FDM de référence sont capables de prédire de manière réaliste des solutions de nouveaux BVP de Laplace 2D avant et inverses inédits avec une précision remarquablement élevée mais dans un temps de calcul beaucoup plus court par rapport à FDM.

Pour couvrir une large gamme de problèmes de valeurs aux limites, les modèles PINN ont été entraînés sur différents types de problèmes de valeurs aux limites. Si tous ces types de BVP sont mathématiquement admissibles, certains d'entre eux apparaissent physiquement plus significatifs (conditions aux limites constantes ou à gradient) que d'autres (valeurs aux limites distribuées aléatoirement). De ce point de vue, il n'est pas surprenant que la précision dans la prédiction de BVP physiquement plus significatifs soit plus élevée que dans le cas de conditions aux limites aléatoires. En général, le choix des types de BVP appropriés dépend du problème physique concret, mais dans le cas de l'EDP de Laplace 2D, les conditions aux limites aléatoires ne semblent pas physiquement pertinentes.

Les BVP de Laplace 2D directs et inverses s'avèrent pouvoir être résolus à l'aide de modèles PINN de manière non itérative avec une précision remarquable. Cependant, la comparaison des performances des modèles PINN avant et inverse montre que les modèles avant font des prédictions plus précises que les modèles inverses. Ceci n'est cependant pas surprenant car des conditions aux limites différentes peuvent produire des solutions similaires. Deux fonctions de perte alternatives ont été utilisées pour la formation du modèle PINN. Dans le cas des modèles PINN directs, les modèles U-Net formés avec la fonction de perte MSE affichent des performances légèrement meilleures par rapport aux modèles U-Net multiclasses qui ont été formés avec les fonctions de perte SCE. Cela n'a cependant pas été observé pour les prédictions inverses, ce qui peut être attribué à l'ambiguïté du principe dans les solutions inverses et à des erreurs plus importantes par rapport aux solutions directes47. Cependant, en raison de la restriction de la mesure SCE aux classes à valeurs entières, la fonction de perte MSE a un spectre d'applications plus général. L'évaluation des prédictions du modèle PINN a été effectuée à l'aide de plusieurs mesures différentes. Cependant, comme déjà connu des travaux antérieurs, la quantification de la précision à l'aide de la mesure du score F1 est plus avantageuse, en particulier dans le cas de distributions inégales comme, en particulier, le cas des problèmes inverses avec des conditions aux limites creuses. Les modèles PINN développés dans ce travail prennent des images d'entrée brutes et ne nécessitent aucun effort supplémentaire pour la discrétisation du domaine, l'assemblage du système linéaire d'équations et sa solution itérative. Ces caractéristiques en font un outil efficace et facile à utiliser pour une application simple, en particulier pour les problèmes transdisciplinaires. Cependant, il existe encore certaines limitations techniques (c'est-à-dire GPU) concernant la taille des domaines d'image pour lesquels les modèles PINN peuvent être formés. Même si ces contraintes techniques peuvent être surmontées à l'avenir, une étude plus approfondie des techniques de résolution de PINN reposant sur des nuages ​​de points non structurés48 semble être d'intérêt général.

Le travail en cours représente une étude de faisabilité avec application au problème de Laplace 2D défini sur le domaine image à valeurs entières. Les extensions de l'approche PINN à une classe plus générale de BVP à virgule flottante et/ou multidimensionnels utilisant une fonction de perte MSE plus générale sont simples. D'autres investigations sont nécessaires pour disséquer les capacités principales et les limites de précision des approches PINN suggérées par application à d'autres problèmes de valeurs limites basés sur l'image et la physique.

Des informations supplémentaires avec des exemples d'images accompagnent ce manuscrit. D'autres ensembles de données utilisés et analysés au cours de l'étude actuelle sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable.

Gladilin, E. et al. Analyse par éléments finis de l'étirement cellulaire uniaxial : de l'image à l'insight. J. Microsc. 4, 104-113 (2007).

CAS Google Scholar

Gonzalez, P., Reichenzeller, M., Eils, R. & Gladilin, E. Sondage de la compressibilité de l'intérieur nucléaire dans des cellules de type sauvage et déficientes en lamine à l'aide de l'imagerie microscopique et de la modélisation informatique. J. Biomech. 44, 2642-2648 (2011).

Article Google Scholar

Gladilin, E., Eils, R. & Peshkin, L. Sur la division cellulaire embryonnaire au-delà du mécanisme de l'anneau contractile : étude expérimentale et informatique des effets du confinement vitelline, de la température et de la taille des œufs. Peer J. 3 (2015).

Trew, ML, Smaill, BH, Bullivant, DP, Hunter, PJ & Pullan, AJ Une méthode de différence finie généralisée pour modéliser l'activation électrique cardiaque sur des maillages de calcul arbitraires et irréguliers. Mathématiques. Biosci. 198, 169-189 (2005).

Article MathSciNet PubMed MATH Google Scholar

Maas, SA, Ateshian, GA & Weiss, JA Febio : Histoire et avancées. Annu. Rév. Biomed. Ing. 19, 279-299 (2017).

Article CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

Mackerle, J. Méthodes des éléments finis et limites en biomécanique: une bibliographie (1976–1991). Ing. Calcul. 9, 403–435 (1992).

Article MathSciNet Google Scholar

Zhang, L., Ademiloye, A. & Liew, K. Méthodes sans maillage et particules en biomécanique : perspectives et défis. Cambre. Calcul. Méthodes Ing. 26 (2018).

Mang, A., Bakas, S., Subramanian, S., Davatzikos, C. & Biros, G. Modélisation biophysique intégrée et analyse d'images : application à la neuro-oncologie. Annu. Rév. Biomed. Ing. 22, 309–341 (2020).

Article CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

Chengyue, W. et al. Intégrer la modélisation basée sur les mécanismes à l'imagerie biomédicale pour créer des jumeaux numériques pratiques pour l'oncologie clinique. Biophys. Rév. 3, 021304 (2022).

Article Google Scholar

Eskinazi, I. & Fregly, BJ Une boîte à outils open source pour la modélisation de substitution de la mécanique des contacts articulaires. IEEE Trans. Biomédical. Ing. 63, 269-277 (2015).

Article PubMed PubMed Central Google Scholar

Halloran, JP, Erdemir, A. & Van Den Bogert, AJ Modélisation de substitution adaptative pour un couplage efficace des modèles de contrôle musculo-squelettique et de déformation des tissus. J. Biomech. Ing. 131, 011014 (2009).

Article PubMed Google Scholar

Niroomandi, S., Alfaro, I., Cueto, E. & Chinesta, F. Modèle de réduction de commande pour les matériaux hyperélastiques. Int. J. Numer. Méthode Ing. 81, 1180-1206 (2010).

Article MathSciNet MATH Google Scholar

Barbič, J. & James, DL Intégration sous-spatiale en temps réel pour les modèles déformables de St. Venant-Kirchhoff. ACM Trans. Graphique. TOG. 24, 982–990 (2005).

Article Google Scholar

An, SS, Kim, T. & James, DL Optimisation de la cubature pour une intégration efficace des déformations du sous-espace. ACM Trans. Graphique. TOG 27, 1–10 (2008).

Article Google Scholar

Goury, O. & Duriez, C. Contrôle et simulation rapides, génériques et fiables de robots mous utilisant la réduction de l'ordre des modèles. IEEE Trans. Rob. 34, 1565-1576 (2018).

Article Google Scholar

Chaturantabut, S. & Sorensen, DC Interpolation empirique discrète pour la réduction de modèle non linéaire. Dans Actes de la 48e conférence IEEE sur la décision et le contrôle (CDC) tenue conjointement avec la 28e conférence chinoise sur le contrôle en 2009, 4316–4321 (IEEE, 2009).

Bui-Thanh, T., Willcox, K. & Ghattas, O. Réduction de modèle pour les systèmes à grande échelle avec un espace d'entrée paramétrique de grande dimension. SIAM J. Sci. Calcul. 30, 3270–3288 (2008).

Article MathSciNet MATH Google Scholar

Meister, F. et al. Vers une modélisation biomécanique rapide des tissus mous à l'aide de réseaux de neurones. https://doi.org/10.48550/ARXIV.1812.06186 (2018).

Mendizabal, A., Márquez-Neila, P. & Cotin, S. Simulation de matériaux hyperélastiques en temps réel à l'aide de l'apprentissage en profondeur. Méd. Image anale. 59, 101569 (2020).

Article PubMed Google Scholar

Margenberg, N., Hartmann, D., Lessig, C. & Richter, T. Un solveur multigrille de réseau neuronal pour les équations de Navier-Stokes. J. Comput. Phys. 460, 110983 (2022).

Article MathSciNet MATH Google Scholar

Raissi, M., Perdikaris, P. & Karniadakis, GE Apprentissage profond informé par la physique (partie I) : Solutions basées sur les données d'équations aux dérivées partielles non linéaires. CoRR. abs/1711.10561 (2017). 1711.10561.

Fetene, BN, Shufen, R. & Dixit, États-Unis Modélisation du réseau de neurones basé sur FEM de la flexion assistée par laser. Calcul neuronal. Appl. 29, 69–82 (2018).

Article Google Scholar

Reichstein, M. et al. Apprentissage en profondeur et compréhension des processus pour la science du système terrestre basée sur les données. Nature 566, 195-204 (2019).

Article ADS CAS PubMed Google Scholar

Alber, M. et al. Intégration de l'apprentissage automatique et de la modélisation multi-échelles - perspectives, défis et opportunités dans les sciences biologiques, biomédicales et comportementales. Chiffre NPJ. Méd. 2, 1–11 (2019).

Article Google Scholar

Iten, R., Metger, T., Wilming, H., Del Rio, L. & Renner, R. Découvrir des concepts physiques avec des réseaux de neurones. Phys. Rév. Lett. 124, 010508 (2020).

Article ADS CAS PubMed Google Scholar

Karniadakis, GE et al. Apprentissage automatique basé sur la physique. Nat. Rév. Phys. 3, 422–440 (2021).

Article Google Scholar

Roewer-Despres, F., Khan, N. & Stavness, I. Vers une simulation par éléments finis utilisant l'apprentissage en profondeur. Au 15e Symposium international sur les méthodes informatiques en biomécanique et en génie biomédical (2018).

Luo, R. et al. NNWarp : Déformation non linéaire basée sur un réseau de neurones. IEEE Trans. Vis. Calcul. Graph.https://doi.org/10.1109/tvcg.2018.2881451 (2018).

Article PubMed Google Scholar

Odot, A., Haferssas, R. & Cotin, S. Deepphysics : un cadre d'apprentissage en profondeur sensible à la physique pour la simulation en temps réel. Int. J. Numer. Méthode Ing. 123, 2381–2398 (2022).

Article MathSciNet Google Scholar

Cai, S., Liang, J., Gao, Q., Xu, C. et Wei, R. Vélocimétrie par image de particules basée sur un estimateur de mouvement d'apprentissage en profondeur. IEEE Trans. Instrument. Mes. 69, 3538–3554 (2019).

Annonces d'article Google Scholar

O'Shea, K. & Nash, R. Une introduction aux réseaux de neurones convolutifs. arXiv e-printsarXiv:1511.08458 (2015).

Lu, L., Meng, X., Mao, Z. & Karniadakis, GE Deepxde : une bibliothèque d'apprentissage en profondeur pour résoudre des équations différentielles. SIAM Rév. 63, 208–228 (2021).

Article MathSciNet MATH Google Scholar

Hennigh, O. et al. Nvidia simnet\(^TM\) : un cadre de simulation multi-physique accéléré par l'IA. Dans Conférence internationale sur la science computationnelle, 447–461 (Springer, 2021).

Chen, F. et al. Neurodiffeq : un package python pour résoudre des équations différentielles avec des réseaux de neurones. J. Logiciel Open Source. 5, 1931 (2020).

Annonces d'article Google Scholar

Johnsen, SF et al. Niftysim : un package d'éléments finis non linéaires basé sur GPU pour la simulation de la biomécanique des tissus mous. Int. J. Comput. Aider. Radiol. Surg. 10, 1077-1095 (2015).

Article PubMed Google Scholar

Comas, O. et al. FEM non linéaire efficace pour la modélisation des tissus mous et sa mise en œuvre GPU dans le canapé open source. Dans Symposium international sur la simulation biomédicale, 28–39 (Springer, 2008).

Ronneberger, O., Fischer, P. & Brox, T. U-net : réseaux convolutifs pour la segmentation d'images biomédicales. Dans Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention (MICCAI), vol. 9351 du LNCS, 234–241 (Springer, 2015).

Young, D., Tsai, C.-C., Chen, C. et Fan, C.-M. La méthode des solutions fondamentales et l'analyse des nombres de condition pour les problèmes inverses de l'équation de Laplace. Calcul. Mathématiques. Appl. 55, 1189-1200 (2008).

Article MathSciNet MATH Google Scholar

Ioffe, S. & Szegedy, C. Normalisation par lots : Accélérer la formation de réseau en profondeur en réduisant le changement de covariable interne. Dans Conférence internationale sur l'apprentissage automatique, 448–456 (PMLR, 2015).

Abadi, M. et al. TensorFlow : Apprentissage automatique à grande échelle sur des systèmes distribués hétérogènes. arXiv e-printsarXiv:1603.04467 (2016).

Walt, SVD, Colbert, SC & Varoquaux, G. Le tableau numpy : une structure pour un calcul numérique efficace. Calcul. Sci. Ing. 13, 22-30 (2011).

Article Google Scholar

Van der Walt, S. et al. scikit-image : traitement d'images en python. Peer J 2, e453 (2014).

Article PubMed PubMed Central Google Scholar

Crimi, A., Bakas, S., Kuijf, H., Menze, B. & Reyes, M. Brainlesion: Glioma, Multiple Sclerosis, Stroke and Traumatic Brain Injuries: Third International Workshop, BrainLes 2017, tenu conjointement avec MICCAI 2017, Québec, QC, Canada, 14 septembre 2017, Revised Selected Papers, vol. 10670 (Springer, 2018).

Joseph, VR Rapport optimal pour le fractionnement des données. Statistique Anal. Données min. ASA Data Sci. J. 15, 531-538 (2022).

Article MathSciNet Google Scholar

Krizhevsky, A., Sutskever, I. & Hinton, GE Classification Imagenet avec réseaux de neurones à convolution profonde. Dans Advances in Neural Information Processing Systems, 1097–1105 (2012).

Kingma, DP & Ba, J. Adam : Une méthode d'optimisation stochastique. CoRRabs/1412.6980 (2015).

Aster, RC, Borchers, B. & Thurber, CH Estimation des paramètres et problèmes inverses (Elsevier, 2018).

Li, Z. et al. Opérateur neuronal de Fourier pour les équations aux dérivées partielles paramétriques. prétirage arXiv arXiv:2010.08895 (2020).

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Anto Nivin Maria Antony, Narendra Narisetti & Evgeny Gladilin

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L'ANMA et NN ont réalisé les expériences informatiques, analysé les données, rédigé le manuscrit, préparé les figures et les tableaux, et révisé les ébauches de l'article. EG a conçu et supervisé des enquêtes, effectué des analyses informatiques, préparé des figures, et rédigé et révisé le manuscrit. Tous les auteurs se sont mis d'accord sur le manuscrit sous sa forme actuelle.

Correspondance à Anto Nivin Maria Antony ou Evgeny Gladilin.

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Maria Antony, AN, Narisetti, N. & Gladilin, E. U-Net piloté par les données FDM en tant que solveur 2D Laplace PINN. Sci Rep 13, 9116 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-35531-8

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Reçu : 18 août 2022

Accepté : 19 mai 2023

Publié: 05 juin 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-35531-8

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